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两类约束与2b方程

两类约束

  • 不同的元件构成的相同电路所表现出的特性不同,相铜元件不同的连接关系也会呈现出不同的特性。因此,电路的总体特性包含在两个方面:元件特性、连接特性、也就是拓扑特性。这里概括出两类约束:
    • 元件特性由元件的VCR描述,VCR反应了电路元件对所在支路的电压和电流之间所起的一种约束关系。这种约束关系在电路里面称为元件约束
    • 基尔霍夫电流定律反映了电路结构对支路电流的约束;基尔霍夫电压定律反映了电路结构对支路电压的约束。这两种约束关系称为拓扑约束

2b方程

  • 应用两类约束建立的电路方程称为2b方程。对于含有b条支路的集总电路,以b条支路电压和b条支路电流作为变量,可以建立2b个方程。2b方程是电路分析的最基本方法,也是后续很多方法的依据

    • 对于含有b条支路,n个结点的连通电路。假设对每个结点都列写出KCL方程;由于每条支路都跨接在两个结点之间,每个支路电流必然是从其中一个结点流入,从另一个结点流出。因此每个支路电流在KCL方程组中会出现两次,一次正,一次负。可以证明,n个结点的KCL方程相加必然为0、如果对(n-1)个结点列写KCL方程,可以得到(n-1)个独立的KCL方程

    • 对于含有b条支路,n个网孔的连通电路。假设对每个网孔都列写出KVL方程;对于形成网孔的公共支路电压,在KVL方程组中出现两次,如果绕行方向一致,一次正,另外一次就是负。二形成外围支路的电压变量只出现一次,因此是一组独立的方程组。倘若再加一个以外围支路构成的回路的KVL方程,方程组必然线性相关了

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  • 求解电路的未知参数,需要列写独立方程。对于含有b个支路,m个网孔,n个结点的电路:可以对n-1个结点列出KVL方程,对所有的网孔列出m个KVL方程,对所有的支路列出b个VCR方程。该方程组就是2b方程

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支路数、节点数以及网孔数之间的关系

  • 可以证明平面电路中,支路数b、节点数n、网孔数m有等式关系:$m=b-n+1$,证明如下:

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支路电流法与支路电压法

  • 这一小节的内容,本质上就是对2b方程求解过程的进一步总结
    • 支路电流法:先将b个VCR方程带入到KVL方程中,余下的未知量都用电流表示
    • 支路电压法:先将b个VCR方程带入到KCL方程中,余下的未知量都用电压表示

本课中回顾的数学知识

  • 线性相关与线性无关:在线性代数里,矢量空间的一组元素中,若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立 [1] (linearly independent),反之称为线性相关(linearly dependent)
    • 大白话就是,一组方程中,任何一个方程,都不能用其他方程的组合运算导出,则该方程组就是线性无关的。方程组线性无关说明每个子方程都为方程组添加了新信息
  • 独立方程:电路这门课中的独立方程就是指的线性无关方程组,可以参考这个视频